INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
La geometría
analítica estudia
las figuras geométricas mediante
técnicas básicas del analisis matemático y
del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su
desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, continúa con la aparición de la geometría diferencial de Carl
Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica .
Actualmente la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las
matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de
administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de
decisiones.
Las
dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:
1.
Dado la curva en un sistema de
coordenadas, obtener su ecuación.
2.
Dada la ecuación inderminada polinomio o
función determinar en un sistema de coordenadas la gráfica o curva
algebraica de
los puntos que verifican dicha ecuación.
Antecedentes históricos de la
geometría analítica
La
geometría analítica surge de la necesidad de resolver problemas para los que no
bastaba la aplicación aislada de las herramientas del álgebra y de la geometría
euclidiana, pero cuya solución se encontraba en el usa combinado de ambas. En
este sentido, podemos entender a la geometría analítica como la parte de las
matemáticas que relaciona y fusiona el álgebra con la geometría euclidiana para
crear una nueva rama que estudia las figuras geométricas, referidas a un
sistema de coordenadas, por métodos algebraicos.
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Estudia
las figuras geométricas utilizando un sistema de coordenadas y resuelve los
problemas geométricos por métodos algebraicos; las coordenadas se representan
por grupos numéricos y las figuras por ecuaciones.
COORDENADAS
EN EL PLANO
Un sistema de ejes
cartesianos son dos rectas perpendiculares que dividen al plano en
cuatro cuadrantes, y sirven para representar cualquier punto del plano.
Coordenadas asignadas a tres puntos diferentes (verde, rojo y azul), sus
proyecciones
ortogonales sobre los ejes constituyen sus coordenadas cartesianas.
Secciones
cónicas
El resultado de la intersección de la superficie de un cono,
con un plano, da
lugar a lo que se denominan secciones cónicas,
que son: la parábola, la elipse (la circunferencia es
un caso particular de elipse) y la hipérbola.
Los tres
ejemplos de intersección de un plano con un cono: parábola (A), elipse (B) e hipérbola (C).
- La parábola es el lugar geométrico
de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una
recta fija llamada directriz.
- La elipse es
el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a
dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva,
e igual a la distancia entre los vértices.
- La hipérbola es
el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la
diferencia (resta) de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es
siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los
vértices.
Bibliografía
No hay comentarios:
Publicar un comentario